計算の基礎 直角三角形について
ピタゴラスの定理と三角関数
☆ピタゴラスの定理について （別に詳細を説明しています）
三角形で、内角の1つが90度である三角形を、直角三角形と呼びます。
直角三角形の直角をはさむ2辺の寸法をそれぞれ Ｂ , Ｃ とし、斜辺の寸法を Ａ とすると下の数式が成り立ちます。
辺の寸法に関わる計算
| A² ＝ B² ＋ C² |
| B² ＝ A² - C² |
| C² ＝ A² - B² |
という計算式で表されます。
これをピタゴラスの定理あるいは三平方の定理といいます。
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☆三角関数について
はじめに
ここでは、曲げ作業の図面の解析に必要な関数を取り上げています。
また、図面で与えられた条件から、辺の寸法を求める場合や角度を求める場合があります。
ラジアン角度とは
半径の長さＡＣの円周上で、図のように半径の長さＡＣと円弧の長さＢＣが等しい時、
円弧ＢＣのなす中心角∠ＢＡＣの角度を1ラジアン角といいます。
図面にはラジアン角表示は、ほとんどありません。
角度が度分秒で表示されている場合は、10進法(10進数)に置換します。
エクセルの角度計算は、ラジアン角度を単位とした計算式で計算します。
したがって、360゜＝2π、180゜＝π、 90゜＝π/2、 45゜＝π/4 で表されます。
エクセルでは、π→PI() π/4→PI()/4 = RADIANS(45) という表現で使用します.。
このホームページでは、10進法(10進数)の入力になります。 |
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辺の寸法と角度の計算
角度から三角関数の値を求めるのが、SIN,COS,TANになります。
SIN,COS,TANの入力数値は、ラジアンを単位とする数値または数式になります。
三角関数の値から、角度を求めるのが、ASIN,ACOS,ATANになります。
ASIN,ACOS,ATANの入力数値は、SIN,COS,TANの値を単位とする数値または数式になります。
これらの関数は必要に応じて、他の関数とともに使用されます。
注意、度数が度分秒で表示されている場合は、10進法(10進数)に置換する必要があります。
| ＴＡＮ |
正接……TANθ＝C/B 角度のタンジェントを返します Ｃ寸法＝ＴＡＮθ*Ｂ |
| ＳＩN |
正弦……ＳＩＮθ＝C/A 角度のサインを返します Ｃ寸法＝ＳＩＮθ*Ａ |
| ＣＯＳ |
余弦……COSθ＝B/A 角度のコサインを返します Ｂ寸法＝COSθ*Ａ |
| ＡＳＩＮ |
アークサイン……値のアークサインを返します |
| ＡＣＯＳ |
アークコサイン……値のアークコサインを返します |
| ＡＴＡＮ |
アークタンジェント……値のアークタンジェントを返します |
| DEGREES |
ラジアン角度を度数法の角度に変換 |
| RADIANS |
度数法の角度をラジアン角度に変換します |
| SIN θ/180*PI() |
θ 度のサインをかえします |
などが、あります。
辺の寸法を求める場合の計算事例
SIN,COS,TAN関数
| ＳＩＮθ＝C/A → C寸法＝ＳＩＮθ*Ａ |
| COSθ＝B/A → Ｂ寸法＝COSθ*A |
| TANθ＝C/B → C寸法＝ＴＡＮθ*Ｂ |
があります。
40ﾟの直角三角形の事例
この事例は、一辺とその辺の成す角度の値から他辺の寸法を計算します。
C＝ＴＡＮθ*Ｂ …… のＴＡＮθについて
C寸法＝ＴＡＮθ*BのC寸法を求める場合に必要なのが、ＴＡＮθの値になります。 |
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この場合、C寸法が求める寸法で、Ｂ辺＝35.75と角度＝40ﾟが与えられた条件になります。
ここで、C＝ＴＡＮθ*ＢのＴＡＮθの値の条件が、入力数値は、ラジアンを単位とする数値または数式になっているため
| 0.698 |
← 下欄のラジアン値の数式または数値を使用します。 |
ここでは 40/180*PI() RADIANS（40） →を入力した場合を例示します
結果→ TAN(40/180*PI())*35.75 ＴＡＮ（RADIANS（40））*35.75の式になります
↓ ↓
|
30.00 |
→寸法がかえります |
30.00 |
→寸法がかえります |
値と数式
40/180*PI()＝ATAN(30/35.75)＝RADIANS（40）＝ATAN(0.839)＝0.698は同じラジアン値になります。
| ラジアン値 |
ATAN(30/35.75)→ |
0.698 |
0.698 |
← ATAN(0.839) |
ラジアン値 |
| ラジアン値 |
40/180*PI() → |
0.698 |
0.698 |
← RADIANS(40) |
ラジアン値 |
参考 計算式と計算結果 （40ﾟのラジアン値とＴＡＮ値の関係）
| 出 力 値 |
計 算 式（数式） |
計算結果（数値） |
計 算 式（数式） |
出 力 値 |
| ＴＡＮ値 |
TAN(40/180*PI()) → |
0.839 |
0.839 |
← TAN(0.698) |
ＴＡＮ値 |
| ＴＡＮ値 |
30/35.75 → |
0.839 |
0.839 |
← ＴＡN(RADIANS(40)) |
ＴＡＮ値 |
| ラジアン値 |
ATAN(30/35.75) → |
0.698 |
0.698 |
← ATAN(0.839) |
ラジアン値 |
| ラジアン値 |
40/180*PI() → |
0.698 |
0.698 |
← RADIANS(40) |
ラジアン値 |
| 角 度 |
0.698*180/PI() → |
40 |
40 |
← DEGREES(0.698) |
角 度 |
計算結果の説明 （直角三角形では、SIN、COS、TANの値と三角比が同じ値になります。）
| 0.839 |
（数式） のタンジェント値である 0.839 を返します |
| 0.698 |
（数式） のラジアン値である 0.698を返します |
| 40 |
10進法 の角度40を返します |
Ｃ辺の寸法30を求める事例
| 寸 法 |
説 明 |
| 30 |
← サインの数式は…SIN（40/180*PI（））*46.67＝30 |
| 30 |
← コサインの数式は…COS(50/180*PI( ))*46.67＝30 |
| 30 |
← タンジェントの数式は…TAN(40/180*PI())*35.75＝30 |
SIN,COS,TANの入力数値は、ラジアンを単位とする数値または数式となっていますので、
ここでは、SIN関数を利用した40/180*PI() を入力した場合を例示します。
SIN（40/180*PI（））*46.67＝30は、40ﾟのSINの値0.6248にＡ寸法の46.67を乗算し、
C寸法の30を算出します。
＝40/180*PI()は、ラジアン値の0.698がかえります
なお、別式でラジアン値に変換する場合は、＝RADIANS(40)で、0.698が返ります。
したがって、数式は、SIN（RADIANS(40)）*46.67でも支障ありません。
COSの角度計算は参考図（90ﾟ-40ﾟ＝50ﾟ）となっています。
角度θを求める計算例
角度θを求める関数には、ASIN、ACOS、ATANがあります。
| ASIN |
アークサイン……値のアークサインを返します |
| ACOS |
アークコサイン……値のアークコサインを返します |
| ATAN |
アークタンジェント……値のアークタンジェントを返します |
角度40ﾟを求める場合のATAN（アークタンジェント）関数について
この場合、角度40ﾟが求める角度で、Ｂ辺＝35.75とC辺＝30が与えられた条件になります。 |
|
 |
そこで、ASIN,ACOS,ATANの入力数値は、それぞれSIN,COS,TANの値を単位とする数値または数式になっているため、
| 計 算 式（数式） |
経 過 |
説 明 |
| ＴＡＮ値 30/35.75 |
0.839 |
←ここでは、TANの値(三角比)を単位とする数式を使用します |
| ラジアン値 ATAN(30/35.75） |
0.698 |
←ラジアン角度を求めます |
| 角 度 ATAN（30/35.75）*180/PI（ ） |
40.00 |
←ラジアン角度を10進法の角度に変換します |
ここでは、ATAN（30/35.75）*180/PI（ ） DEGREES(ATAN(30/35.75)) を入力した場合を例示します。
↓結果 ↓結果
|
40 |
→角度がかえります |
40 |
→角度がかえります |
ASIN、ACOS、ATANの値を度で表すには、* 180/PI() または DEGREES 関数を使います。
参考 計算式と計算結果 （40ﾟのラジアン値とＴＡＮ値の関係）←再掲
| 出 力 値 |
計 算 式（数式） |
計算結果（数値） |
計 算 式（数式） |
出 力 値 |
| ＴＡＮ値 |
TAN(40/180*PI()) → |
0.839 |
0.839 |
← TAN(0.698) |
ＴＡＮ値 |
| ＴＡＮ値 |
30/35.75 → |
0.839 |
0.839 |
← ＴＡN(RADIANS(40)) |
ＴＡＮ値 |
| ラジアン値 |
ATAN(30/35.75) → |
0.698 |
0.698 |
← ATAN(0.839) |
ラジアン値 |
| ラジアン値 |
40/180*PI() → |
0.698 |
0.698 |
← RADIANS(40) |
ラジアン値 |
| 角 度 |
0.698*180/PI() → |
40 |
40 |
← DEGREES(0.698) |
角 度 |
計算結果の説明 （直角三角形では、SIN、COS、TANの値と三角比が同じ値になります。）
| 0.839 |
（数式） のタンジェント値である 0.839 を返します |
| 0.698 |
（数式） のラジアン値である 0.698 を返します |
| 40 |
10進法 の角度40を返します |
角度θ＝40ﾟを求める事例
この事例は、辺の寸法から角度を計算します。
| 角 度 |
説 明 |
| 40 |
← アークサインの数式は…ASIN（30/46.67）*180/PI（ ）＝40ﾟ |
| 40 |
← アークコサインの数式は…ACOS（35.75/46.67）*180/PI（ ）＝40ﾟ |
| 40 |
← アークタンジェントの数式は…ATAN（30/35.75）*180/PI（ ）＝40ﾟ |
| 40 |
← DEGREES関数を使用してDEGREES(ATAN(30/35.75))でも支障ありません |
|
|
ASIN,ACOS,ATANの入力数値は、SIN,COS,TANの値を単位とする数値または数式になります。
ASIN、ACOS、ATANの値を度で表すには、*180/PI() または DEGREES 関数を使います。
DEGREES関数は[ ラジアン角度 ]を度数法による[ 度 ] に変換する関数です。
角度θを求めるATAN（アークタンジェント）の計算例
エクセルに入力すると下記のとおり角度が出力されます。
| 入 力 式 |
出 力 |
説 明 |
| *180/PI（ ） あるいは DEGREES |
角度θ |
直角三角形図を参考に入力すると |
| ATAN（30/35.75）*180/PI（） |
40 |
← 40ﾟがかえります |
| 参考図 DEGREES(ATAN(35.75/30)) |
50 |
← 50ﾟがかえります |
なお、ACOS ，ASIN も同様に計算します。
参 考
計算式と計算結果 （50ﾟのラジアン値とＴＡＮ値の関係） 参考図参照
| 出 力 値 |
計 算 式（数式） |
計算結果（数値） |
計 算 式（数式） |
出 力 値 |
| ＴＡＮ値 |
TAN(50/180*PI()) → |
1.192 |
1.192 |
← TAN(0.8727) |
ＴＡＮ値 |
| ＴＡＮ値 |
35.75/30 → |
1.192 |
1.192 |
← ＴＡN(RADIANS(50)) |
ＴＡＮ値 |
| ラジアン値 |
ATAN(35.75/30) → |
0.873 |
0.873 |
← ATAN(1.192) |
ラジアン値 |
| ラジアン値 |
50/180*PI() → |
0.873 |
0.873 |
← RADIANS(50) |
ラジアン値 |
| 角 度 |
0.873*180/PI() → |
50 |
50 |
← DEGREES(0.873) |
角 度 |
計算結果の説明 （直角三角形では、SIN、COS、TANの値と三角比が同じ値になります）
| 1.192 |
（数式） のタンジェント値である 1.192 を返します |
| 0.873 |
（数式） のラジアン値である 0.873 を返します |
| 50 |
10進法の角度 50 を返します |
|
|
10進法の角度から10進法の角度に変換します…Ｂ2に入力した角度がＢ3にかえります
| セル位置 |
B |
説 明 （意味がありませんがよく解ります） |
| 2 |
50 |
← 0＜数値＜90で角度を入力して実行してください…事例は50ﾟの場合 |
| 3 |
50 |
← 入力式はDEGREES(ATAN(TAN(Ｂ2/180*PI())))で入力値Ｂ2の角度がかえります |
| 4 |
0.873 |
← 入力式はATAN(TAN(Ｂ2/180*PI()))でラジアン値がかえります |
| 5 |
1.192 |
← 入力式はTAN(Ｂ2/180*PI())でTAN値がかえります |
| 6 |
0.873 |
← 入力式はＢ2/180*PI()でラジアン値がかえります |
| B2セルに入力すると |
B2セルに入力した数値がかえります |
Ｂ2入力→Ｂ6→Ｂ5→Ｂ4→Ｂ3へ出力の経過 |
曲げ作業に関わる直角三角形の三角関数などを取り上げました。
使用関数は、使い易い慣れた関数を使用しましょう。
ピタゴラスの定理、三角関数、相似形、直線と角度などは図面の展開や曲げ作業によく使用しますので慣れておきましょう。
エクセルシートから[ 挿入 ] 、[ 関数Ｆ ] 、[ 数学／三角 ] をクリックして求める関数を[ＯＫ]で入力画面、や、「数式」、
「数学・三角」から入力画面になりますので試してみましょう。（バージョンにより、ツールの説明が異なります。）
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